Calcul de la marge d’erreur de mon échantillonnage

Soient les paramètres suivants :

• p la proportion d’arbres dégradés dans la zone sélectionnée
• n le nombre d’arbres observés par placette
• m le nombre de placettes visitées
• z la valeur associée au niveau de confiance souhaité.

L’évaluation du dépérissement de la forêt est protocolée de la sorte que des placettes sont visitées et un certain nombre d’arbres par placette sont observés. Ce protocole est assimilable à un échantillonnage en grappes à un degré (ou cluster sampling). Les indicateurs de précision seront calculés à partir d’une estimation de la variance spécifique à ce type d’échantillonnage.

L’estimation de la variance est indispensable pour déterminer la marge d’erreur et l’intervalle de confiance associée à l’estimation de la moyenne du dépérissement dans une zone.

Dans le cadre

• d’un échantillonnage aléatoire par grappes à deux degrés
• dans une population infinie,
• et avec une taille de grappe constante

la variance de l’estimateur de la moyenne se calcule avec la formule suivante :

$$ \text{Var}_{cs}(\bar{Y}) = \frac{S^2_B}{m} $$

Avec :

• \(S^2_B\) : la variance des moyennes des placettes

La marge d’erreur s’écrit de la manière suivante :

$$ E = z \sqrt{\text{Var}_{cs}(\bar{Y})} $$

On peut ensuite calculer l’intervalle de confiance :

$$ \text{IC} = p \pm z \sqrt{\text{Var}_{cs}(\bar{Y})} $$

Avec \(z\) la valeur associée au niveau de confiance souhaité.

La marge d’erreur et l’intervalle de confiance sont deux éléments essentiels pour interpréter la précision d’une estimation statistique. La marge d’erreur représente l’amplitude maximale attendue entre la valeur estimée à partir de l’échantillon et la valeur réelle dans la population réelle. Elle permet d’apprécier l’incertitude liée à l’échantillonnage. L’intervalle de confiance, quant à lui, fournit une fourchette dans laquelle la valeur réelle a une probabilité donnée (généralement 95 %) de se situer. En d’autres termes, il s’agit d’un encadrement plausible de la valeur inconnue, basé sur les données observées. Ces deux notions sont particulièrement importantes dans le cadre de campagnes de surveillance, où il est nécessaire de quantifier la fiabilité des estimations produites à partir d’échantillons partiels de la population.

Exemple d’interprétation :

Soient les valeurs suivantes obtenues pour une zone et une année données :

• Proportion d’arbres dégradés observée = 9%
• Marge d’erreur = 6.49%
• Intervalle de confiance = [2.51% ; 15.49%]
• Niveau de confiance = 95%

La proportion d’arbres dépérissant observée est de 9 % avec une marge d’erreur ajustée de ± 6.49, ce qui signifie que l’on peut être confiant à 95 % que la proportion réelle d’arbre dépérissant se situe entre 2.51 % et 15.49 %.

Références :

Spatial sampling with R (https://dickbrus.github.io/SpatialSamplingwithR/Twostage.html)

Cochran, W.G. (1977) Sampling Techniques. 3rd Edition, John Wiley & Sons, New York.

Estimation de la taille de mon échantillonnage

Soit les paramètres suivants à fixer en amont de l’étude :

• p la proportion d’arbres dégradés estimée dans la zone sélectionnée
• E la marge d’erreur autour de l’estimation de la proportion
• \(\rho\) une valeur décrivant l’hétérogénéité de la zone à étudier vis à vis du dépérissement
• n un nombre d’arbres par placette à observer
• z la valeur associée au niveau de confiance souhaité.

On souhaite estimer un nombre de m placettes à visiter avec n arbres observés par placette.

1) Estimation de \(n_{srs}\)

Soit \(n_{srs}\) un nombre d’arbres total à observer dans le cadre d’un échantillonnage aléatoire simple :

$$ n_{srs} = \frac{z^2 p(1-p)}{E^2} $$

2) Calcul de l’effet de plan (ou design effect)

L’échantillonnage en grappes induit une corrélation entre les unités appartenant à une même grappe, ce qui réduit l’efficacité statistique. On introduit alors la notion d’effet de plan (design effect), qui mesure l’augmentation de la variance des estimations liée à ce mode de tirage.

$$ \text{Deff} = 1 + \rho(n-1) $$

Avec \(\rho\) le rapport de variabilité intra-inter placettes. Cette valeur représente la variabilité expliquée par la variation à l’intérieur de chaque placette. Une valeur de \(\rho\) faible (proche de 0) signifie que les arbres d’une même placette sont aussi différents les uns des autres que les arbres de placettes différentes. La zone étudiée est homogène. À l’inverse, un valeur de \(\rho\) proche de 1 signifie que les arbres d’une même placette sont très similaires, et très différents des arbres des autres placettes. La zone étudiée est donc fortement hétérogène. Cette valeur a été calculée sur l’ensemble des massifs observés. De la sorte, cette valeur de \(\rho\) peut être bornée par ce qui a été observé dans le cadre du dépérissement de la forêt entre 0.07 et 0.25 en général.

3) Multiplication de la taille de l’échantillonnage théorique par la valeur de l’effet de plan

La taille d’échantillon nécessaire s’estime en deux étapes : premièrement en calculant la taille théorique dans le cadre d’un échantillonnage aléatoire simple (\(n_{srs}\)), puis en l’ajustant cette valeur en multipliant par le design effect (\(\text{Deff}\).

$$ n_{TOT} = n_{srs} \times \text{Deff} $$

4) Taille optimale de l’échantillonnage

Soit \(n_{TOT}\) le nombre total d’arbres à observer. Si on considère \(n\) le nombre d’arbres par placette, on obtient un nombre \(m_{TOT}\) de placettes à visiter.

$$ m_{TOT} = \frac{n_{TOT}}{n} $$

Exemple d’interprétation :

Soient les valeurs suivantes :

• Proportion estimée d’arbres dégradés dans ma zone = 10%
• Marge d’erreur = 10%
• Niveau de confiance = 95%
• Degré d’hétérogénéité = 0.1
• Nombre d’arbres observés par placette : 20

Si j’estime que ma proportion d’arbres dégradés dans ma zone est de 10% avec une marge d’erreur possible de 5% et que l’hétérogénéité de ma zone peut se quantifier avec une valeur de \(\rho\) à 0.1 alors il faudrait construire un plan d’échantillonnage composé de 20 placettes de 20 arbres.

Cette proposition de calibration du plan d’échantillonnage répond de manière théorique aux paramètres renseignés.

Référence :

Carlin JB, Hocking J. Design of cross-sectional surveys using cluster sampling: an overview with Australian case studies. Aust N Z J Public Health. 1999 Oct;23(5):546-51. doi: 10.1111/j.1467-842x.1999.tb01317.x. PMID: 10575783.